Faedah kompaun berterusan

Faedah kompaun adalah faedah yang dikira atas prinsipal awal dan juga faedah terkumpul bagi tempoh sebelumnya deposit atau pinjaman. Kesan faedah kompaun bergantung kepada frekuensi.

Anggapkan kadar faedah tahunan sebanyak 12%. Jika kita memulakan tahun dengan $ 100 dan kompaun hanya sekali, pada akhir tahun, prinsipal tumbuh menjadi $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112). Jika sebaliknya kita kompaun setiap bulan pada 1%, kita akan mendapat lebih daripada $ 112 pada akhir tahun. Iaitu, $ 100 x 1.01 ^ 12 pada $ 112.68. (Ia lebih tinggi kerana kita sering dikompaun.)

Pulangan yang terus dikompaun kompaun paling kerap berlaku. Pengkompaunan yang berterusan adalah batas matematik yang boleh mencapai kepentingan kompaun. Ia adalah kes komplikasi yang melampau kerana kebanyakan faedah dikompaun secara bulanan, suku tahunan atau semiannual.

Kadar Pulangan Sepanjang Hayat

Pertama, mari kita lihat pada konvensyen yang berpura-pura mengelirukan. Di pasaran bon, kita merujuk kepada hasil setara ekuiti (atau asas setara bon). Ini bermakna jika bon menghasilkan 6% secara semiannual, hasil setara dengan bonnya adalah 12%.

Imej oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Hasil setiap semennual hanya dua kali ganda. Ini berpura-pura mengelirukan kerana hasil efektif bon hasil yang setara bon 12% adalah 12.36% (iaitu, 1.06 ^ 2 = 1.1236). Dua kali ganda hasil tahunan adalah konvensyen penamaan ikatan. Oleh itu, jika kita baca tentang bon 8% yang dikompaun secara semiannually, kita menganggap ini merujuk kepada hasil semiannual 4%.

Kadar Pulangan Suku Tahunan dan Harian

Sekarang, mari bincangkan frekuensi yang lebih tinggi. Kami masih menganggap kadar faedah pasaran tahunan sebanyak 12%. Di bawah konvensyen penamaan bon, yang membayangkan kadar kompaun semennual 6%. Sekarang kita boleh mengumumkan kadar kompaun suku tahunan sebagai fungsi kadar faedah pasaran.

Imej oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Memandangkan kadar pasaran tahunan ( r), kadar kompaun suku tahunan ( r _q) diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {aligned} & r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ Rq = 4

Jadi, untuk contoh kami, di mana kadar pasaran tahunan adalah 12%, kadar kompaun suku tahunan adalah 11.825%:

Ku $\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {aligned}$ Rq = 4≅11.825%

Imej oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Logik yang serupa berlaku untuk pengkompaunan bulanan. Kadar kompaun bulanan ( rm ) diberikan di sini sebagai fungsi kadar faedah pasaran tahunan ( r):

Kadar kompaun harian ( d) sebagai fungsi kadar faedah pasaran ( r) diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ begin {aligned} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {aligned}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Bagaimana Pengkompaunan Berterusan

Imej oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Sekiranya kita meningkatkan kekerapan kompaun kepada hadnya, kita akan mengkompaun secara berterusan. Walaupun ini tidak praktikal, kadar faedah yang terus dikompaun menawarkan sifat yang sangat baik. Ternyata kadar faedah yang dikompaun secara berterusan diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + r) \ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () adalah log semulajadi dan dalam contoh kita, kadar yang terus dikompaun adalah:

Ku $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \% \\ \ end {$ Rcontinuous = ln (1 + 0.12) = ln (1.12) ≅11.33%

Kami sampai ke tempat yang sama dengan mengambil log semulajadi nisbah ini: nilai akhir yang dibahagikan dengan nilai permulaan.

Ku $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (\frac{{Nilai}_{Akhirnya}}{{Nilai}_{Mulakan}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ kiri ( frac {112} {100} kanan) kong 11.33 \% \\ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11.33%

Yang terakhir adalah perkara biasa apabila mengira pulangan berterusan untuk saham. Contohnya, jika stok melompat dari $ 10 satu hari menjadi $ 11 pada hari berikutnya, pulangan harian yang terus dikompaun diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (\frac{{Nilai}_{Akhirnya}}{{Nilai}_{Mulakan}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ kiri ( frac { $ 11} { $ 10} kanan) kong 9.53 \% \\ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

Apa yang begitu besar mengenai kadar kompaun yang berterusan (atau kembali) yang akan kita nyatakan dengan r _c ? Pertama, mudah untuk menyalurkannya ke hadapan. Memandangkan prinsipal (P), kekayaan akhir kami melebihi (n) tahun diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ begin {aligned} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ W = Perc n

Perhatikan bahawa e ialah fungsi eksponen. Sebagai contoh, jika kita mula dengan $ 100 dan terus kompaun pada 8% dalam tempoh tiga tahun, kekayaan akhir diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ begin {aligned} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ W = $ 100e (0.08) (3) = $ 127.12

Diskaun kepada nilai kini (PV) hanyalah pengkompaunan sebaliknya , maka nilai masa depan nilai (F) yang dikompaun secara berterusan pada kadar ( r _c) diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} PV F diterima dalam (n) tahun = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV of F diterima dalam (n) tahun} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \$ PV F diterima dalam (n) tahun = erc nF = Fe-rc n

Sebagai contoh, jika anda akan menerima $ 100 dalam tiga tahun di bawah kadar berterusan 6%, nilai sekarang diberikan oleh:

Ku $\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = $ 100 e^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \ \ end {aligned}$ PV = Fe-rc n = ($ 100) e- (0.06) (3) = $ 100e-0.18 $ $ 83.53

Meningkatkan Tempoh Pelbagai

Harta yang mudah dari pulangan yang terus dikompaunkan adalah skala di atas pelbagai tempoh. Jika pulangan untuk tempoh pertama adalah 4% dan pulangan untuk tempoh kedua adalah 3%, maka pulangan dua tempoh adalah 7%. Pertimbangkan kita memulakan tahun dengan $ 100, yang meningkat kepada $ 120 pada akhir tahun pertama, maka $ 150 pada penghujung tahun kedua. Pulangan yang dikompaun secara berterusan masing-masing adalah 18.23% dan 22.31%.

Ku $\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \% \\ \ end {aligned}$ Ln (100120) ≅18.23%

Ku $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22.31 \% \\ \ end {aligned}$ Ln (120150) ≅22.31%

Sekiranya kita tambahnya bersama-sama, kita mendapat 40.55%. Ini adalah pulangan dua tempoh:

Ku $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \% \\ \ end {aligned}$ Ln (100150) ≅40.55%

Secara teknikal, pulangan berterusan adalah masa yang konsisten. Konsistensi masa adalah keperluan teknikal untuk nilai pada risiko (VAR). Ini bermakna jika pulangan satu tempoh adalah pemboleh ubah rawak yang diedarkan secara normal, kita mahu pemboleh ubah rawak berbilang tempoh untuk diedarkan secara normal juga. Selain itu, pulangan jangka panjang yang dikompaun secara berterusan diedarkan secara biasa (tidak seperti, katakanlah, pulangan peratusan mudah).

Garisan bawah

Kita boleh merumuskan kadar faedah tahunan ke suku bunga setiap suku tahunan, suku tahunan, bulanan, atau harian (atau kadar pulangan). Pengkompaunan yang paling kerap adalah pengkompaunan yang berterusan, yang memerlukan kita menggunakan log semulajadi dan fungsi eksponen, yang lazimnya digunakan dalam kewangan kerana sifat-sifat yang diingini-ia skala mudah melalui pelbagai tempoh dan ia adalah masa yang konsisten.

Isi kandungan:

Kadar Pulangan Sepanjang Hayat

Kadar Pulangan Suku Tahunan dan Harian

Bagaimana Pengkompaunan Berterusan

Meningkatkan Tempoh Pelbagai

Garisan bawah

Pilihan Editor