Memahami model harga pilihan binomial

Menentukan Harga Saham

Untuk bersetuju dengan harga yang tepat untuk aset yang boleh didagangkan adalah mencabar-itulah sebabnya harga saham sentiasa berubah. Pada hakikatnya, syarikat tidak mengubah penilaian mereka setiap hari, tetapi harga saham dan penilaian mereka berubah hampir setiap saat. Kesukaran untuk mencapai persetujuan mengenai penetapan harga yang tepat untuk sebarang aset yang boleh didagangkan menyebabkan peluang arbitraj jangka pendek.

Tetapi banyak pelaburan yang berjaya berakar kepada persoalan sederhana mengenai penilaian masa kini - apakah harga semasa yang tepat hari ini untuk jangkaan masa depan yang dijangkakan?

Penilaian Pilihan Binominal

Di pasaran yang kompetitif, untuk mengelakkan peluang arbitraj, aset dengan struktur ganjaran yang sama mesti mempunyai harga yang sama. Penilaian pilihan telah menjadi tugas yang mencabar dan variasi harga membawa kepada peluang arbitraj. Black-Scholes masih merupakan salah satu model yang paling popular yang digunakan untuk pilihan harga tetapi mempunyai batasan.

Model penetapan harga binomial adalah kaedah popular lain yang digunakan untuk pilihan harga.

Contoh

Anggapkan terdapat pilihan panggilan pada saham tertentu dengan harga pasaran semasa sebanyak $ 100. Pilihan di-the-money (ATM) mempunyai harga mogok $ 100 dengan masa untuk tamat tempoh selama satu tahun. Terdapat dua peniaga, Peter dan Paula, yang kedua-duanya bersetuju bahawa harga saham akan meningkat kepada $ 110 atau jatuh kepada $ 90 dalam satu tahun.

Mereka bersetuju dengan tahap harga yang dijangka dalam jangka masa tertentu satu tahun tetapi tidak bersetuju dengan kebarangkalian langkah atas atau ke bawah. Peter percaya bahawa kebarangkalian harga saham akan menjadi $ 110 adalah 60%, sementara Paula percaya ia adalah 40%.

Berdasarkan itu, siapa yang sanggup membayar lebih banyak harga untuk pilihan panggilan? Mungkin Peter, kerana dia menjangkakan kebarangkalian tinggi langkah itu.

Pengiraan Opsyen Binominal

Kedua-dua aset, yang penilaian bergantung kepada, adalah pilihan panggilan dan stok asas. Terdapat persetujuan di kalangan peserta bahawa harga saham dasar boleh bergerak dari $ 100 sekarang menjadi $ 110 atau $ 90 dalam satu tahun dan tidak ada harga lain yang mungkin bergerak.

Dalam dunia bebas arbitrase, jika anda perlu membuat portfolio yang terdiri daripada kedua-dua aset, pilihan panggilan dan stok asas, tanpa menghiraukan di mana harga yang ada - $ 110 atau $ 90 - pulangan bersih pada portfolio sentiasa tetap sama. Katakan anda membeli "d" saham pilihan satu panggilan asas dan pendek untuk membuat portfolio ini.

Jika harga pergi ke $ 110, saham anda akan bernilai $ 110 * d, dan anda akan kehilangan $ 10 pada hasil panggilan ringkas. Nilai bersih portfolio anda akan (110d - 10).

Sekiranya harga turun kepada $ 90, saham anda akan bernilai $ 90 * d, dan pilihan itu akan luput tanpa had. Nilai bersih portfolio anda akan (90d).

Ku $\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ di mana: \\ h = Harga berpotensi tertinggi \\ d = Bilangan saham asas \\ m = Wang hilang atas bayaran panggilan ringkas \\ l = Harga berpotensi yang paling rendah \end{matrix} \ begin {aligned} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {where:} \ & h = \ text { \ & m = \ text {Wang yang hilang pada harga panggilan pendek} \ & l = \ text {Terendah harga berpotensi terendah} \ \ end {aligned}$ H (d) -m = l (d) di mana: h = Potensi paling tinggi yang mendasari harga = Bilangan saham asas = Wang yang hilang dalam panggilan pendek payoffl = Harga berpotensi terendah

Oleh itu, jika anda membeli separuh saham, dengan andaian pembelian fraksional adalah mungkin, anda akan berjaya membuat portfolio supaya nilainya kekal sama di kedua-dua negeri yang mungkin dalam jangka masa satu tahun.

Ku $\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {aligned} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {aligned}$ 110d-10 = 90dd = 21

Nilai portfolio ini, ditunjukkan oleh (90d) atau (110d - 10) = 45, adalah satu tahun ke bawah garis. Untuk mengira nilai semasa, ia boleh didiskaunkan oleh kadar pulangan bebas risiko (dengan asumsi 5%).

Ku $\begin{matrix} Nilai sekarang & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Tahun)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {aligned} text {Present Value} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ akhir {aligned}$ Nilai sekarang = 90d × e (-5% × 1 Tahun) = 45 × 0.9523 = 42.85

Sejak sekarang, portfolio terdiri daripada ½ bahagian saham asas (dengan harga pasaran $ 100) dan satu panggilan pendek, ia sepatutnya sama dengan nilai sekarang.

Ku $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Harga Panggilan = $ 42.85 \\ Harga Panggilan = $ 7.14, iaitu harga panggilan hari ini \end{matrix} \ begin {aligned} & \ frac {1} {2} times 100 - 1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text { hari ini} \ \ end {aligned}$ 21 × 100-1 × Harga Panggilan = $ 42.85 Harga Panggilan = $ 7.14, iaitu harga panggilan hari ini

Oleh kerana ini adalah berdasarkan andaian bahawa nilai portfolio kekal sama tanpa mengira cara harga terdedah, kebarangkalian bergerak atau turun bergerak tidak memainkan peranan. Portfolio kekal bebas risiko tanpa mengira langkah harga dasar.

Dalam kedua-dua kes (diandaikan naik ke $ 110 dan ke bawah bergerak ke $ 90), portfolio anda adalah neutral terhadap risiko dan mendapat kadar pulangan tanpa risiko.

Oleh itu, kedua-dua peniaga, Peter dan Paula, bersedia membayar $ 7.14 yang sama untuk pilihan panggilan ini, meskipun terdapat persepsi yang berlainan tentang kebarangkalian bergerak (60% dan 40%). Kebarangkalian mereka yang dianggap secara individu tidak penting dalam penilaian pilihan.

Sebagai contoh, jika kebarangkalian individu itu penting, peluang arbitraj mungkin muncul sendiri. Di dunia nyata, peluang arbitraj itu wujud dengan perbezaan harga kecil dan hilang dalam jangka pendek.

Tetapi di manakah volatiliti yang banyak-hyped dalam semua pengiraan ini, faktor penting dan sensitif yang mempengaruhi harga pilihan?

Ketidakturunan ini telah disertakan dengan sifat definisi masalah. Dengan mengandaikan dua (dan hanya dua - maka nama "binomial") menyatakan tahap harga ($ 110 dan $ 90), turun naik adalah tersirat dalam andaian ini dan dimasukkan secara automatik (10% sama ada cara dalam contoh ini).

Black-Scholes

Tetapi pendekatan ini betul dan koheren dengan harga Black-Scholes yang biasa digunakan? Keputusan kalkulator pilihan (ihsan OIC) hampir sama dengan nilai yang dikira:

Malangnya, dunia sebenar tidak semudah "hanya dua negeri." Stok boleh mencapai beberapa tahap harga sebelum masa tamat.

Adakah mungkin untuk memasukkan semua peringkat pelbagai dalam model harga binomial yang hanya terhad kepada dua peringkat? Ya, sangat mungkin, tetapi untuk memahami ia memerlukan sedikit matematik yang mudah.

Matematik Mudah

Untuk merumuskan masalah dan penyelesaian ini:

"X" adalah harga pasaran semasa saham dan "X * u" dan "X * d" adalah harga masa depan untuk naik dan turun "t" tahun kemudian. Faktor "u" akan lebih besar daripada satu kerana ia menunjukkan langkah atas dan "d" akan terletak di antara sifar dan satu. Untuk contoh di atas, u = 1.1 dan d = 0.9.

Ganjaran pilihan panggilan adalah "P _up " dan "P _dn " untuk bergerak naik dan turun pada masa tamat tempoh.

Ku $\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - P_{up} \\ di mana: \\ VUM = Nilai portfolio sekiranya berlaku perubahan \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VUM} = \ sekiranya berlaku langkah} \ \ end {aligned}$ VUM = s × X × u-Pup di mana: VUM = Nilai portfolio sekiranya berlaku perubahan

Ku $\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{turun} \\ di mana: \\ VDM = Nilai portfolio sekiranya berlaku penurunan \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VDM} = \ dalam kes turun ke bawah} \ \ end {aligned}$ VDM = s × X × d-Pdown di mana: VDM = Nilai portfolio sekiranya berlaku penurunan

Untuk penilaian yang sama dalam mana-mana hal bergerak harga:

Ku $s \times X \times u - P_{up} = s \times X \times d - P_{turun} s \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down}$ s × X × u-Pup = s × X × d-Pdown

Ku $\begin{matrix} s & = \frac{P_{up} - P_{turun}}{X \times (u - d)} \\ = Bilangan saham yang hendak dibeli \\ portfolio bebas risiko \end{matrix} \ begin {aligned} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & \\ & \ phantom {=} text {portfolio bebas risiko} \ \ end {aligned}$ s = X × (u-d) Pup -Pdown = Bilangan saham yang dibeli untuk = portfolio bebas risiko

Nilai masa depan portfolio pada akhir tahun "t" adalah:

Ku $\begin{matrix} Dalam Kes Up Pindah & = s \times X \times u - P_{up} \\ = \frac{P_{up} - P_{turun}}{u - d} \times u - P_{up} \end{matrix} \ begin {aligned} text {In Case of Up Move} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {aligned}$ Dalam Kes Up Move = s × X × u-Pup = u-dPup -Pdown × u-Pup

Ku $\begin{matrix} Dalam Kes Pindah Pindah & = s \times X \times d - P_{turun} \\ = \frac{P_{up} - P_{turun}}{u - d} \times d - P_{turun} \end{matrix} \ begin {aligned} text {Dalam Kes Down Down} & = s \ kali X \ times d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {aligned}$ Dalam Kes Down Down = s × X × d-Pdown = u-dPup -Pdown × d-Pdown

Nilai masa kini boleh didapati dengan mendiskaunnya dengan kadar pulangan bebas risiko:

Ku $\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ di mana: \\ PV = Nilai Hari Semasa \\ r = Kadar pulangan \\ t = Masa, bertahun-tahun \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {PV} = \ text {Present-Day Value} = \ text {Kadar pulangan} \ & t = \ text {Masa, dalam tahun} \ \ end {aligned}$ PV = e (-rt) × tempat: PV = Penilai Hari Semasa = Kadar pulangan = Masa, dalam tahun

Ini sepadan dengan pegangan saham "s" pada harga X, dan nilai panggilan pendek "c" (pegangan masa kini (s * X - c) sepadan dengan pengiraan ini.) Penyelesaian untuk "c" sebagai:

Nota: Jika premium panggilan dipijak, ia harus menjadi tambahan kepada portfolio, bukan penolakan.

Ku $c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ c = u-de (-rt) ×

Satu lagi cara untuk menulis persamaan adalah dengan menyusun semulanya:

Mengambil "q" sebagai:

Ku $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-rt) -d

Kemudian persamaan menjadi:

Ku $c = e (- r t) \times (q \times P_{up} + (1 - q) \times P_{turun}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) kali P_ \ text {down})$ c = e (-rt) × (q × Pup + (1-q) × Pdown)

Menetapkan semula persamaan dari segi "q" telah menawarkan perspektif baru.

Sekarang anda boleh mentafsir "q" sebagai kebarangkalian langkah atas asas (sebagai "q" dikaitkan dengan P _up dan "1-q" dikaitkan dengan P _dn). Secara keseluruhannya, persamaan tersebut mewakili harga opsyen masa kini, nilai diskaun yang diperolehi pada masa tamatnya.

Ini "Q" adalah berbeza

Bagaimanakah kebarangkalian "q" ini berbeza daripada kebarangkalian perpindahan atau langkah ke bawah?

Ku $\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ di mana: \\ VSP = Nilai Harga Saham pada Masa t \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {VSP} teks {Nilai Harga Saham pada Masa} t \\ \ end {aligned}$ VSP = q × X × u + (1-q) × X di mana: VSP = Nilai Harga Saham pada Masa t

Menggantikan nilai "q" dan menyusun semula, harga saham pada masa "t" datang kepada:

Ku $\begin{matrix} Harga stok = e (r t) \times X \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {Harga Saham} = e (rt) times X \\ \ end {aligned}$ Harga Saham = e (rt) × X

Dalam dunia dua negara yang diandaikan ini, harga saham hanya naik dengan kadar pulangan bebas risiko, sama seperti aset bebas risiko, dan oleh itu ia tetap bebas dari sebarang risiko. Pelabur tidak peduli dengan risiko di bawah model ini, jadi ini merupakan model yang berisiko risiko.

Kebarangkalian "q" dan "(1-q)" dikenali sebagai kebarangkalian neutral risiko dan kaedah penilaian dikenali sebagai model penilaian neutral risiko.

Senario contoh mempunyai satu keperluan penting - struktur pembayaran masa depan diperlukan dengan ketepatan (tahap $ 110 dan $ 90). Dalam kehidupan sebenar, kejelasan mengenai tahap harga berasaskan langkah tidak mungkin; sebaliknya harga bergerak secara rawak dan boleh menyelesaikannya pada pelbagai peringkat.

Untuk memperluaskan lagi contoh, anggapkan bahawa tahap harga dua langkah adalah mungkin. Kita tahu hasil akhir yang kedua dan kita perlu menghargai pilihan hari ini (pada langkah awal):

Bekerja mundur, penilaian langkah pertama pertengahan (t = 1) boleh dibuat dengan menggunakan nilai akhir pada tahap dua (t = 2), kemudian menggunakan penilaian langkah pertama yang dikira (t = 1), penilaian masa kini (t = 0) boleh dicapai dengan pengiraan ini.

Untuk mendapatkan harga pilihan pada nombor dua, bayaran pada empat dan lima digunakan. Untuk mendapatkan harga untuk nombor tiga, bayaran pada lima dan enam digunakan. Akhirnya, ganjaran dikira pada dua dan tiga digunakan untuk mendapatkan harga di nombor satu.

Sila ambil perhatian bahawa contoh ini mengandaikan faktor yang sama untuk naik (dan ke bawah) bergerak pada kedua-dua langkah - u dan d digunakan dalam fasa terkompaun.

Contoh Kerja

Anggapkan opsyen putar dengan harga mogok $ 110 saat ini diperdagangkan pada $ 100 dan tamat dalam satu tahun. Kadar bebas risiko tahunan ialah 5%. Harga dijangka meningkat sebanyak 20% dan turun sebanyak 15% setiap enam bulan.

Di sini, u = 1.2 dan d = 0.85, x = 100, t = 0.5

menggunakan rumusan yang diperoleh di atas

Ku $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-rt) -d

kita dapat q = 0.35802832

nilai opsyen put di titik 2, Ku $\begin{matrix} p_{2} = e (- r t) \times (p \times P_{upup} + (1 - q) P_{updn}) \\ di mana: \\ p = Harga opsyen put \end{matrix} \ begin {aligned} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {where:} \ text {Harga opsyen put}} \ \ end {aligned}$ P2 = e (-rt) × (p × Pupup + (1-q) Pupdn) di mana: p = Harga pilihan put

Pada keadaan _upup P, asas akan = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 yang membawa kepada P _upup = sifar

Pada keadaan P _updn, asasnya ialah = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 yang membawa kepada P _updn = $ 8

Pada keadaan P, asasnya ialah = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 yang membawa kepada P _dndn = $ 37.75

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

Begitu juga, p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

Ku $p_{1} = e (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (-rt) × (q × p2 + (1-q) p3)

Dan dengan itu nilai meletakkan opsyen, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

Begitu juga, model binomial membolehkan anda untuk memecahkan keseluruhan tempoh pilihan untuk menambah beberapa langkah dan tahap. Menggunakan program komputer atau spreadsheet, anda boleh bekerja mundur satu langkah pada satu masa untuk mendapatkan nilai semasa pilihan yang dikehendaki.

Contoh yang lain

Anggapkan pilihan putar jenis Eropah dengan sembilan bulan untuk tamat tempoh, harga mogok $ 12 dan harga pendasar semasa pada $ 10. Anggapkan kadar bebas risiko sebanyak 5% untuk semua tempoh. Anggapkan setiap tiga bulan, harga pendasar dapat bergerak 20% naik atau turun, memberi kami u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 dan pokok binomial tiga langkah.

Merah menunjukkan harga asas, manakala biru menunjukkan nilai opsyen yang diletakkan.

Kebarangkalian risiko risiko "q" dikira kepada 0.531446.

Menggunakan nilai di atas nilai "q" dan nilai di t = sembilan bulan, nilai yang sama pada t = enam bulan dikira sebagai:

Selanjutnya, menggunakan nilai-nilai yang dikira pada t = 6, nilai pada t = 3 maka pada t = 0 ialah:

Itu memberikan nilai sekarang untuk meletakkan pilihan sebagai $ 2.18, cukup dekat dengan apa yang anda dapat lakukan melakukan pengiraan menggunakan model Black-Scholes ($ 2.30).

Garisan bawah

Walaupun menggunakan program komputer boleh membuat pengiraan intensif ini mudah, ramalan harga masa depan kekal sebagai batasan utama model binomial untuk harga pilihan. Yang lebih halus selang masa, semakin sukar untuk meramalkan ganjaran pada akhir setiap tempoh dengan ketepatan peringkat tinggi.

Walau bagaimanapun, kelonggaran untuk memasukkan perubahan yang dijangkakan pada tempoh yang berlainan adalah tambah, yang menjadikannya sesuai untuk harga pilihan Amerika, termasuk penilaian awal latihan.

Nilai-nilai yang dikira dengan menggunakan model binomial hampir sama dengan yang dikira dari model lain yang biasa digunakan seperti Black-Scholes, yang menunjukkan utiliti dan ketepatan model binomial untuk harga pilihan. Model harga binomial boleh dibangunkan mengikut keutamaan peniaga dan boleh berfungsi sebagai alternatif kepada Black-Scholes.

Isi kandungan: